计算

设想如下场景:一个攻击者试图比诚实节点产生链条更快地制造替代性区块链。即便它达到了这一目的,但是整个系统也并非就此完全受制于攻击者的独断意志了,比方说凭空创造价值,或者掠夺本不属于攻击者的货币。这是因为节点将不会接受无效的交易,而诚实的节点永远不会接受一个包含了无效信息的区块。一个攻击者能做的,最多是更改他自己的交易信息,并试图拿回他刚刚付给别人的钱。
诚实链条和攻击者链条之间的竞赛,可以用二叉树随机漫步(Binomial Random Walk)来描述。成功事件定义为诚实链条延长了一个区块,使其领先性+1,而失败事件则是攻击者的链条被延长了一个区块,使得差距-1。
攻击者成功填补某一既定差距的可能性,可以近似地看做赌徒破产问题(Gambler’s Ruin problem)。假定一个赌徒拥有无限的透支信用,然后开始进行潜在次数为无穷的赌博,试图填补上自己的亏空。那么我们可以计算他填补上亏空的概率,也就是该攻击者赶上诚实链条,如下所示:

pq

假定p>q,那么攻击成功的概率就因为区块数的增长而呈现指数化下降。由于概率是攻击者的敌人,如果他不能幸运且快速地获得成功,那么他获得成功的机会随着时间的流逝就变得愈发渺茫。那么我们考虑一个收款人需要等待多长时间,才能足够确信付款人已经难以更改交易了。我们假设付款人是一个支付攻击者,希望让收款人在一段时间内相信他已经付过款了,然后立即将支付的款项重新支付给自己。虽然收款人届时会发现这一点,但为时已晚。
收款人生成了新的一对密钥组合,然后只预留一个较短的时间将公钥发送给付款人。这将可以防止以下情况:付款人预先准备好一个区块链然后持续地对此区块进行运算,直到运气让他的区块链超越了诚实链条,方才立即执行支付。当此情形,只要交易一旦发出,攻击者就开始秘密地准备一条包含了该交易替代版本的平行链条。
然后收款人将等待交易出现在首个区块中,然后在等到z个区块链接其后。此时,他仍然不能确切知道攻击者已经进展了多少个区块,但是假设诚实区块将耗费平均预期时间以产生一个区块,那么攻击者的潜在进展就是一个泊松分布,分布的期望值为:

image022

当此情形,为了计算攻击者追赶上的概率,我们将攻击者取得进展区块数量的泊松分布的概率密度,乘以在该数量下攻击者依然能够追赶上的概率。

pq2

化为如下形式,避免对无限数列求和:

pq3

写为如下C语言代码:

#include double AttackerSuccessProbability(double q, int z)
{
double p = 1.0 - q;
double lambda = z * (q / p);
double sum = 1.0;
int i, k;
for (k = 0; k <= z; k++)
{
double poisson = exp(-lambda);
for (i = 1; i <= k; i++)
poisson *= lambda / i;
sum -= poisson * (1 - pow(q / p, z - k));
}
return sum;
}

对其进行运算,我们可以得到如下的概率结果,发现概率对z值呈指数下降。

当q=0.1时
z=0 P=1.0000000
z=1 P=0.2045873
z=2 P=0.0509779
z=3 P=0.0131722
z=4 P=0.0034552
z=5 P=0.0009137
z=6 P=0.0002428
z=7 P=0.0000647
z=8 P=0.0000173
z=9 P=0.0000046
z=10 P=0.0000012

当q=0.3时
z=0 P=1.0000000
z=5 P=0.1773523
z=10 P=0.0416605
z=15 P=0.0101008
z=20 P=0.0024804
z=25 P=0.0006132
z=30 P=0.0001522
z=35 P=0.0000379
z=40 P=0.0000095
z=45 P=0.0000024
z=50 P=0.0000006

求解令P<0.1%的z值:

为使P<0.001,则
q=0.10 z=5
q=0.15 z=8
q=0.20 z=11
q=0.25 z=15
q=0.30 z=24
q=0.35 z=41
q=0.40 z=89
q=0.45 z=340

作者:| 2018-04-04T08:24:10+00:00 四月 4th, 2018|比特币白皮书|暂无评论